RELACIÓN AUREA / GOLDEN PROPORTION

Introducción /  Introduction

Hagamos un experimento: dibujemos una recta de la dimensión que deseemos. Fijémonos bien en ella, después, dividámosla en dos partes desiguales mediante un pequeño trazo, de tal manera que la sección menor tenga la misma proporción de relación con la sección mayor como esta segunda con la línea completa.

Let's make an experiment: let's draw a line with the size you want. Let us observe it, then divide it into two unequal parts by a small trace, so that the lower section has the same proportion of relationship with the largest section as the second with the entire line.

Tras esto midámoslas, podremos comprobar que la menor es aproximadamente un 62% de la mayor y que ésta es un 62% de la recta completa. Fray Paciolo di Borgo, monje italiano, enuncio en el 1509 una fórmula matemática cuya aplicación da una constante a la que denominó Número de Oro o Divina Proporción. Ya utilizada en la antigüedad ésta Divina Relación se encuentra cuando, realizando el ejercicio anterior, el segmento menor, es al segmento mayor, como este es a la suma de ambos, es decir, a la totalidad de la recta. Este número equivale al 62% y es exactamente 0.618.

After that we measure them and we can see that the minor is about 62% of the largest and it is 62% of the full line. Fray Paciolo di Borgo, Italian monk, enunciate in 1509 a mathematical formula which gives a constant application he called the Golden Number or Divine Proportion. Already used in ancient times this divine relationship is when doing the previous year, the lower segment is to the largest segment, such as this is to the entire line. This number is 62% and is exactly 0.618.

Información general de la sección Áurea / Golden proportion general information

A lo largo del tiempo todos los artistas han buscado una forma de división de las cosas perfectas pero no había nada que indicase en que proporción debían estar las cosas (seres vivos, objetos...).Ahora sabemos que existe una ley en la naturaleza, que permite dividir el espacio para lograr un orden proporcional de las dimensiones. Esa ley se denomina "La proporción aurea", también conocida como "divina proporción" o “numero áureo”. En 1497, un fraile italiano llamado Lucca Pacioli escribió un libro donde se reveló, por fin, el secreto de la belleza. Se titula De divina Proportione, y su tema central es lo que los escolares de nuestros días conocen como "regla de tres". Pacioli se inspiraba en las ideas de Piero della Francesca, un hombre que hoy conocemos a través de su obra pictórica, pero que en su tiempo era más conocido por ser el autor de De Abaco, un manual de matemática para comerciantes. La regla de tres era una herramienta básica para los comerciantes del Quattrocento: servía para determinar las proporciones de capital, tierras, volumen de grano o cualquier otra clase de bienes que le correspondía a cada socio, heredero o copropietario ante un total determinado. Se la conocía entonces como regla de oro llave del comerciante. Una regla de tres famosa es la llamada Escala Armónica Pitagórica, que al modo renacentista se expresa: 6 8 9 12 Algunos arquitectos relacionaron la escala armónica pitagórica, utilizada para representar una escala musical, con el diseño visual modular o proporcional. Andrea Palladio dejó asentada una falacia de diseño según la cual los espacios pueden ser diseñados "musicalmente" de acuerdo con esta escala: como el intervalo entre 6 y 12 es de una octava, entre 6 y 9 y entre 8 y 12 es de una quinta, entre 6 y 8 y entre 9 y 12 de cuarta y entre 8 y 9 de un tono, si se organizaban las dimensiones de las habitaciones de un edificio siguiendo esta serie, entonces se estaría produciendo una armonía espacial de la misma clase que la que relaciona las notas musicales. La regla Áurea parecía una fórmula perfecta que relacionaba las artes de la música, la pintura y la arquitectura. Y además mantenía las buenas relaciones comerciales. Cuando Lucca Pacioli escribió La Divina Proporción, lo que hizo fue tomar otro tipo de regla de tres, que, partiendo de una unidad arbitraria permitía la construcción de proporcionalidades tanto de múltiplos como de submúltiplos (intervalos mayores y menores). Los aficionados (en particular los fotógrafos, grandes entusiastas) conocen esta relación como sección áurea. Su expresión matemática es a:b=b:a+b significando que la relación que tiene el segmento A con respecto a B es igual a la relación de B con respecto a A mas una segunda unidad B (figura 1). Vitruvio ideó un sistema de cálculo matemático de la división pictórica, para seccionar los espacios en partes iguales y así conseguir una mejor composición. Se basa en el principio general de contemplar un espacio rectangular dividido, a grandes rasgos, en terceras partes, tanto vertical como horizontalmente. O, explicado de otra forma, bisecando un cuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar las dimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectángulo áureo". Se llega a la proporción a:b = c:a. Al situar los elementos primordiales de diseño en una de estas líneas, se cobra conciencia del equilibrio creado entre estos elementos y el resto del diseño.

Over time all artists have look forward a perfect way of dividing things  but there was nothing to indicate in what proportion should be the things (Things, objects ...). Now we know there is a law of nature , that divides the space to achieve an order of the proportional dimensions. That law is called "The Golden proportion", also known as "divine proportion" or "golden number". In 1497, an Italian monk named Lucca Pacioli wrote a book that revealed, at last, the secret of beauty. It's called De divina Proportione, and its central theme is what the school today known as "rule of three."  Pacioli was inspired by the ideas of Piero della Francesca, a man we know today through his paintings, but in his time was best known as the author of DeAbaco, a manual of mathematics for traders. The rule of three was a basic tool for traders of the Quattrocento: it served to determine the proportions of capital, land, grain volume or any other kind of property that belonged to each partner or co-heir to a certain total. It was known then as the gold key to the merchant. A rule of three famous is the so-called Pythagorean Harmonic Scale, which is expressed Renaissance mode: 6  8  9  12. Some architects connected the Pythagorean harmonic scale, a scale used to represent music, with modular or proportional visual design. Andrea Palladio left established a design  fallacy according to which spaces can be "musically" designed according to this scale: as the interval between 6 and 12 is the eighth, between 6 and 9 and between 8 and 12 is a fifth , between 6 and 8 and between 9 and 12 of the fourth and between 8 and 9 of a tone, if the dimensions of a room building are organized according to this series would then produce a spatial harmony of the same class as that relates the musical notes. Golden proportion seemed like a perfect formula linking the arts of music, painting and architecture. And maintaining good business relations. When Lucca Pacioli wrote The Divine Proportion, what he did was take other kind of a rule of three, which, starting from an arbitrary unit proportionalities allow the construction of both multiples and submultiples of (major and minor intervals). Fans (including photographers) know this relationship as golden proportion. Its mathematical expression is a: b = b: a + b meaning that the relationship of the segment A with respect to B is equal according of B with respect to A over a second unit B (Figure 1). Vitruvius devised a system of mathematical calculation of the pictorial space, to divide spaces equally and thus get a better composition. It is based on the general principle of looking at a rectangular space divided roughly into thirds, both vertically and horizontally. Or otherwise explained, bisecting a table and using the diagonal of a radius of its halves as to enlarge the dimensions of the square to make "golden rectangle." Will reach the proportion a: b = c: a. By placing the primary elements of design in one of these lines, it becomes conscious of the balance created between these elements and the rest of the design.

Rectángulo áureo / Golden rectangle

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

A special rectangle is  the golden rectangle. This is a harmonious rectangle in their dimensions. Draw a square and mark the midpoint of one side. We join it with one of the vertices on the opposite side and carry that distance on the initial side, so you get the longest side of rectangle.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ 5 por lo que la proporción entre los dos lados es: (1+ 5 ) /2 A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci. En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. If the side of the square is 2 units, it is clear that the larger side of the rectangle is worth 1 + 5  so the proportion between the two sides is: (1 + 5) / 2 This number is called the golden number is represented by the symbol Ø and its value is 1.61803 ..., the Greeks got it finding the relationship between the diagonal of a pentagon and the side. The name "golden number" is because of Leonardo da Vinci. In the "ideal man" of Leonardo, the quotient of the side of the square and the radius of the circle whose center the navel, is the golden number. Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura siguiente, se forma otro rectángulo áureo más grande, esto significa que tiene la propiedad de crecer o decrecer infinitamente y proporcionalmente de manera perfecta. Another property of this rectangle is that if you put two identical as in the coming figure  another golden rectangle and  larger is formed, this means that has the ability to increase or decrease proportionally infinitely and perfectly. Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.).  Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta. A partir del hombre, utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que media lo mismo de alto que de ancho con los brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura y esta misma ,se lograba de manera exacta, rebatiendo sobre las bases de un cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones. Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento.  En España, en la Alambra, en edificios renacentistas como El Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos. The Egyptians knew and used this proportion in the pyramid of Cheops architecture o (2600 BC). The Egyptians found the golden proportion by analysis and observation, to identify measures that would allow them to divide the land exactly. From the man, using the hand, arm, to find that the same half as tall as wide with arms widespread and found that the navel set the split point at its height and the same, it could accurately, answering on the basis of a square, a diagonal drawn from the middle of the base to one of its edges. The golden proportion went from Egypt to Greece and from there to Rome. The most beautiful architectural constructions and sculptures are based on this canon. Appears in paintings of Dali, in Botticelli's Venus. This proportion is also used in productions of the Renaissance artists. In Spain, in the Alhambra, Renaissance buildings as El Escorial ... and nature itself in the spirals of shells of certain mollusks. Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea. The Greeks also used it in their construction, especially the Parthenon, whose proportions are interrelated through the golden proportion. El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas. También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc. La sucesión de Fibonacci. Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1'61803...). Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci. The symbol Ø for the golden proportion was chosen by the American mathematician Mark Barr. The letter was chosen because it was the first of the name of Phidias who used the golden proportion in his sculptures. Has also been used in the ID design, in the construction of furniture, window frames, beds, etc. The Fibonacci sequence. Consider the following sequence of numbers: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Each number from the third, is obtained by adding the two preceding. For example, 21 = 13 + 8, the next to 34 is 34 + 21 = 55. This sequence is called "Fibonacci sequence" (Leonardo of Pisa from 1170 to 1240). Quotients between two numbers of the sequence, are closer and closer to the golden proportion (1'61803 ...). This sequence of numbers appears in nature in odd ways. The scales of a pineapple are in spirals around the corner. If we count the number of windings of a pineapple, we find that always equals one of the numbers of the Fibonacci sequence. Esta sucesión también aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la divergencia foliar, en la formación de la concha de algunos moluscos. This sequence also appears in the study of Mendelian laws of inheritance, in the leaf divergence in the formation of the shell of some mollusks. Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada. En la construcción anterior, se empieza con un cuadrado de 1 unidad de lado (el nº 1), se añade uno igual para formar un rectángulo de 2 x 1, a continuación añadimos un cuadrado de 2 x 2 (el nº 3) para formar un rectángulo de 3 x 2; después un cuadrado de 3 x 3 (el nº 4), de manera que el siguiente rectángulo es 5 x 3, el siguiente cuadrado es 5 x 5 (el nº 5), y así sucesivamente. Sucesión de Fibonacci y la regla Áurea Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... A handy way to draw a spiral by building rectangular square spirals, it is about drawing the quadrant  of  a circle on each new square added. In the above construction, one starts with a square 1 unit side (No. 1), add another one equall to form a rectangle of 2 x 1, then add a square 2 x 2 ( # 3) to form a rectangle of 3 x 2, then a square of 3 x 3 (the number 4), so  the following rectangle is 5 x 3, the following square is 5 x 5 (ranked # 5), and so on. Fibonacci sequence and Golden Proportion Consider the following sequence of numbers: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... Las razones entre ellos son: Ratios among them  are: Si tomamos dos números cualesquiera como números de partida y formamos una sucesión de Fibonacci sumando siempre los dos últimos números, las razones serian: Empezamos por 3 y 7; la sucesión sería: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115... If we take two numbers  as item numbers and form a Fibonacci sequence always adding the last two numbers, the reasons would be: We started at 3 and 7, the sequence would be: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115 ...

Las razones son: Ratios are:

Independientemente de los números que encabecen la sucesión, las razones se aproximan más y más al número 1'61803... Este número fue estudiado por los griegos. Estamos ante el numero áureo, su valor exacto es:

Independently of the numbers that top the succession, the ratios are closer and closer to the number 1'61803 ... This issue was studied by the Greeks. We are facing the golden number, its exact value is:

y se representa con el símbolo Ø and it is represented by the symbol  Ø

Los griegos obtuvieron este número al hallar la relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado. Esto hace posible construir un pentágono regular usando regla y compás.

The Greeks got this number finding the relationship between the diagonal of a regular pentagon and its side. This makes  possible to construct a regular pentagon using ruler and compass.

     

Al trazar las diagonales de un pentágono resulta la estrella pentagonal o estrella de Italia, era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.

By drawing the diagonals of a pentagon is pentagonal star or star of Italy, was the symbol of the Pythagorean school, and served the Pythagoreans to recognize each other.